1.3 函数极限的概念与性质

1.3.1 邻域

① $\delta$ 邻域. 设 $x_0$ 是数轴上一个点, $\delta$ 是某一正数,则称 $\left(x_0-\delta ,x_0+\delta \right)$ 为点 $x_0$ 的 $\delta$ 邻域,记作 $U\left(x_0,\delta \right)$ ,即

$$U\left(x_0,\delta \right)=\left\{x\mid x_0-\delta <x<x_0+\delta \right\}=\left\{x\left|\right|x-x_0\mid <\delta \right\},$$

其中点 $x_0$ 称为邻域的中心, $\delta$ 称为邻域的半径.

②去心 $\delta$ 邻域. 定义点 $x_0$ 的去心邻域 $\stackrel{\circ }{U}\left(x_0,\delta \right)=\left\{x\left|0<\right|x-x_0\mid <\delta \right\}$ .

③左、右 $\delta$ 邻域. $\left\{x\mid 0<x-x_0<\delta \right\}$ 称为点 $x_0$ 的右 $\delta$ 邻域,记作 $U^{+}\left(x_0,\delta \right);\left\{x\mid 0<x_0-x<\delta \right\}$ 称为点 $x_0$ 的左 $\delta$ 邻域,记作 $U^{-}\left(x_0,\delta \right)$ .

④邻域与区间 (区域). 邻域当然属于区间 (区域) 的范畴, 但事实上, 邻域通常表示 “一个局部位置”,比如 “点 $x_0$ 的 $\delta$ 邻域” 就可以称为 “点 $x_0$ 的附近”. 于是,函数 $f\left(x\right)$ 在点 $x_0$ 的某 $\delta$ 邻域内有定义也就是函数 $f\left(x\right)$ 在点 $x_0$ 的附近有定义,这个 “附近” 到底有多近多远,既难以说明也没有必要说明.

【注】关于邻域的一组概念非常重要, 因为我们将要 “在一个局部位置” 细致地研究问题.

1.3.2 函数极限的定义

设函数 $f\left(x\right)$ 在点 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义. 若存在常数 $A$ ,对于任意给定的 $\epsilon >0$ (不论它多么小),总存在正数 $\delta$ ,使得当 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 时,对应的函数值 $f\left(x\right)$ 都满足不等式 $\left|f\left(x\right)-A\right|<\epsilon$ ,则 $A$ 叫作函数 $f\left(x\right)$ 当 $x\to x_0$ 时的极限,记为

$$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=A\text{ 或 }f\left(x\right)\to A\left(x\to x_0\right).$$

写成 “ $\epsilon -\delta$ 语言 ”: $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=A\iff \mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0$ ,当 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 时,有 $\left|f\left(x\right)-A\right|<\epsilon$ .

【注 1】符号 “ $\mathrm{\forall }$ ” 是英文 Arbitrary (任意的 ) 的首字母上下方向倒着写出来的; 符号 “ $\mathrm{\exists }$ ” 是英文 Exist(存在) 的首字母左右方向倒着写出来的.

【注 2】

	$f(x)\to A$	$f(x)\to \mathrm{\infty }$	$f(x)\to +\mathrm{\infty }$	$f(x)\to -\mathrm{\infty }$
$x\to x_0$	$$\begin{gathered} \mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0 \\ \text{，使得当} \\ 0<|x-x_0|<\delta \\ \text{时，有} \\ |f(x)-A|<\epsilon \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \mathrm{\forall }M>0,\mathrm{\exists }\delta >0 \\ \text{，使得当} \\ 0<|x-x_0|<\delta \\ \text{时，有} \\ |f(x)|>M \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \mathrm{\forall }M>0,\mathrm{\exists }\delta >0 \\ \text{，使得当} \\ 0<|x-x_0|<\delta \\ \text{时，有} \\ f(x)>M \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \mathrm{\forall }M>0,\mathrm{\exists }\delta >0 \\ \text{，使得当} \\ 0<|x-x_0|<\delta \\ \text{时，有} \\ f(x)<-M \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} x\to x_0^{+} \\ \text{(右极限)} \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0 \\ \text{，使得当} \\ 0<x-x_0<\delta \\ \text{时，有} \\ |f(x)-A|<\epsilon \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \mathrm{\forall }M>0,\mathrm{\exists }\delta >0 \\ \text{，使得当} \\ 0<x-x_0<\delta \\ \text{时，有} \\ |f(x)|>M \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \mathrm{\forall }M>0,\mathrm{\exists }\delta >0 \\ \text{，使得当} \\ 0<x-x_0<\delta \\ \text{时，有} \\ f(x)>M \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \mathrm{\forall }M>0,\mathrm{\exists }\delta >0 \\ \text{，使得当} \\ 0<x-x_0<\delta \\ \text{时，有} \\ f(x)<-M \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} x\to x_0^{-} \\ \text{(左极限)} \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }\delta >0 \\ \text{，使得当} \\ 0<x_0-x<\delta \\ \text{时，有} \\ |f(x)-A|<\epsilon \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \mathrm{\forall }M>0,\mathrm{\exists }\delta >0 \\ \text{，使得当} \\ 0<x_0-x<\delta \\ \text{时，有} \\ |f(x)|>M \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \mathrm{\forall }M>0,\mathrm{\exists }\delta >0 \\ \text{，使得当} \\ 0<x_0-x<\delta \\ \text{时，有} \\ f(x)>M \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \mathrm{\forall }M>0,\mathrm{\exists }\delta >0 \\ \text{，使得当} \\ 0<x_0-x<\delta \\ \text{时，有} \\ f(x)<-M \end{gathered}$$
$x\to \mathrm{\infty }$	$$\begin{gathered} \mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }X>0 \\ \text{，使得当} \\ |x|>X \\ \text{时，有} \\ |f(x)-A|<\epsilon \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \mathrm{\forall }M>0,\mathrm{\exists }X>0 \\ \text{，使得当} \\ |x|>X \\ \text{时，有} \\ |f(x)|>M \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \mathrm{\forall }M>0,\mathrm{\exists }X>0 \\ \text{，使得当} \\ |x|>X \\ \text{时，有} \\ f(x)>M \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \mathrm{\forall }M>0,\mathrm{\exists }X>0 \\ \text{，使得当} \\ |x|>X \\ \text{时，有} \\ f(x)<-M \end{gathered}$$
$x\to +\mathrm{\infty }$	$$\begin{gathered} \mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }X>0 \\ \text{，使得当} \\ x>X \\ \text{时，有} \\ |f(x)-A|<\epsilon \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \mathrm{\forall }M>0,\mathrm{\exists }X>0 \\ \text{，使得当} \\ x>X \\ \text{时，有} \\ |f(x)|>M \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \mathrm{\forall }M>0,\mathrm{\exists }X>0 \\ \text{，使得当} \\ x>X \\ \text{时，有} \\ f(x)>M \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \mathrm{\forall }M>0,\mathrm{\exists }X>0 \\ \text{，使得当} \\ x>X \\ \text{时，有} \\ f(x)<-M \end{gathered}$$
$x\to -\mathrm{\infty }$	$$\begin{gathered} \mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }X>0 \\ \text{，使得当} \\ x<-X \\ \text{时，有} \\ |f(x)-A|<\epsilon \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \mathrm{\forall }M>0,\mathrm{\exists }X>0 \\ \text{，使得当} \\ x<-X \\ \text{时，有} \\ |f(x)|>M \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \mathrm{\forall }M>0,\mathrm{\exists }X>0 \\ \text{，使得当} \\ x<-X \\ \text{时，有} \\ f(x)>M \end{gathered}$$	$$\begin{gathered} \mathrm{\forall }M>0,\mathrm{\exists }X>0 \\ \text{，使得当} \\ x<-X \\ \text{时，有} \\ f(x)<-M \end{gathered}$$

【例 1.14】 已知 $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{x^2}}$ 存在,且函数

$$f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x-\sin x}{x}+x^2\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{1-\cos x},}}$$

则 $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{x^2}=\left(\right)}$ .

(A) $-{\displaystyle \frac{1}{3}}$   (B) ${\displaystyle \frac{1}{3}}$   (C) ${\displaystyle \frac{1}{6}}$   (D) $-{\displaystyle \frac{1}{6}}$

解 应选 (D).

设 $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{x^2}=A}$ ,且 $x\to 0$ 时, $1-\cos x\sim {\displaystyle \frac{1}{2}{x}^2}$ ,于是 $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x-\sin x}{x}+2x^2\cdot A}$ ,则

$${\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{x^2}={\displaystyle \frac{x-\sin x}{x^3}+2A,}}$$

上式两端同时取 $x\to 0$ 时的极限,有

$$A=\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{x-\sin x}{x^3}+2A,}$$

则

$$A={\displaystyle \frac{1}{6}+2A}$$

即 $A=-{\displaystyle \frac{1}{6}}$ . 故选 (D).

附注：

计算极限 $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{x-\sin x}{x^3}}$。

首先，回顾一下 $\sin x$ 的泰勒级数展开：

$$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+O(x^5)$$

在 $x\to 0$ 的极限下，高阶项 $O(x^5)$ 可以忽略。因此，

$$\sin x\approx x-\frac{x^3}{6}$$

现在将 $\sin x$ 代入原式：

$$\frac{x-\sin x}{x^3}=\frac{x-(x-\frac{x^3}{6})}{x^3}$$

化简分子：

$$x-(x-\frac{x^3}{6})=x-x+\frac{x^3}{6}=\frac{x^3}{6}$$

所以，原式变为：

$$\frac{\frac{x^3}{6}}{x^3}=\frac{x^3}{6x^3}=\frac{1}{6}$$

因此，极限是：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x-\sin x}{x^3}=\frac{1}{6}$$

这个计算结果是：

$$\boxed{{\displaystyle \frac{1}{6}}}$$

1.3.3 函数极限的性质

(1) 唯一性

如果极限 $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)$ 存在,那么极限唯一.

【注】(1) 函数极限存在的充要条件.

$$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=A\iff \underset{x\to x_0^{-}}{lim}f\left(x\right)=A\text{ 且 }\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f\left(x\right)=A,$$$$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=A\iff f\left(x\right)=A+\alpha \left(x\right),\underset{x\to x_0}{lim}\alpha \left(x\right)=0.$$

(2) 关于唯一性的说明.

① 对于 $x\to \mathrm{\infty }$ ,意味着 $x\to +\mathrm{\infty }$ 且 $x\to -\mathrm{\infty }$ ;

② 对于 $x\to x_0$ ,意味着 $x\to x_0^{+}$ 且 $x\to x_0^{-}$ .

我们称这个细节的问题为自变量取值的 “双向性 (有正有负)”, 基于此, 我们看几个重要的函数极限问题.

① $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}{\mathrm{e}}^x$ 不存在,因为 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}{\mathrm{e}}^x=+\mathrm{\infty },\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}{\mathrm{e}}^x=0$ ,根据 “极限若存在,必唯一”,得原极限不存在;

② $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{\sin x}{\left|x\right|}}$ 不存在,因为 $\underset{x\to 0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{\sin x}{\left|x\right|}=\underset{x\to 0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{\sin x}{x}=1,\underset{x\to 0^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{\sin x}{\left|x\right|}=\underset{x\to 0^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{\sin x}{-x}=-1}}}}$ ;

③ $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\arctan x$ 不存在,因为 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\arctan x={\displaystyle \frac{\pi }{2},\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\arctan x=-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}}$ ;

④ $\underset{x\to 0}{lim}\left[x\right]$ 不存在,因为 $\underset{x\to 0^{+}}{lim}\left[x\right]=0,\underset{x\to 0^{-}}{lim}\left[x\right]=-1$ ;

⑤分段函数分段点两侧表达式不同, 需分别求左、右极限.

【例 1.15】 当 $x\to 1$ 时,函数 ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{\frac{1}{x-1}}\ln \left|1+x\right|}{\left({\mathrm{e}}^x-1\right)\left(x-2\right)}}$ 的极限 $\left(\right)$ .

(A) 等于 1   (B) 等于 0   (C) 为 $\mathrm{\infty }$   (D) 不存在且不为 $\mathrm{\infty }$

解 应选 (D).

函数 ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{\frac{1}{x-1}}\ln \left|1+x\right|}{\left({\mathrm{e}}^x-1\right)\left(x-2\right)}}$ 在 $x=1$ 处没有定义,在 $x=1$ 的两侧表达式虽然相同,但是注意到当 $x\to 1$ 时,

${\displaystyle \frac{1}{x-1}}$ 左、右极限不相等,因此应该考虑单侧极限.

$$\underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{\frac{1}{x-1}}\ln \left|1+x\right|}{\left({\mathrm{e}}^x-1\right)\left(x-2\right)}=0,}$$$$\underset{x\to 1^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{\frac{1}{x-1}}\ln \left|1+x\right|}{\left({\mathrm{e}}^x-1\right)\left(x-2\right)}=\mathrm{\infty },}$$

可知当 $x\to 1$ 时,函数 ${\displaystyle \frac{{\mathrm{e}}^{\frac{1}{x-1}}\ln \left|1+x\right|}{\left({\mathrm{e}}^x-1\right)\left(x-2\right)}}$ 的极限不存在且不为 $\mathrm{\infty }$ ,故选 (D).

【注】对于上述 $\underset{x\to 1}{lim}{\mathrm{e}}^{\frac{1}{x-1}}$ 的情形,由于 $\underset{x\to 1^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{1}{x-1}}$ 与 $\underset{x\to 1^{-}}{lim}{\displaystyle \frac{1}{x-1}}$ 不相等,因此不能忽视左极限与右极限, 否则会导致错误, 这是这类问题经常出现错误的原因.

【例 1.16】 设 $g\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}2-x,& x\le 0,\\ 2+x,& x>0,\end{array}f\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x<0,\\ -x-1,& x\ge 0,\end{array}$ 则 $\underset{x\to 0}{lim}g\left[f\left(x\right)\right]\left(\right)$ .

(A) 为 3   (B) 为 2   (C) 为 1   (D) 不存在

解 应选 (D).

由例 1.5 可知,

$$g\left[f\left(x\right)\right]=\{\begin{array}{ll}3+x,& x\ge 0,\\ 2+x^2,& x<0.\end{array}$$

又 $\underset{x\to 0^{+}}{lim}g\left[f\left(x\right)\right]=\underset{x\to 0^{+}}{lim}\left(3+x\right)=3\ne \underset{x\to 0^{-}}{lim}g\left[f\left(x\right)\right]=\underset{x\to 0^{-}}{lim}\left(2+x^2\right)=2$ ,故 $\underset{x\to 0}{lim}g\left[f\left(x\right)\right]$ 不存在.

(2) 局部有界性

如果 $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=A$ ,则存在正常数 $M$ 和 $\delta$ ,使得当 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 时,有 $\left|f\left(x\right)\right|\le M$ .

【注】① 设 $\underset{x\to \cdot }{lim}f\left(x\right)$ 存在,则当 $x\to \cdot$ 时, $f\left(x\right)$ 有界. 其中 “ $x\to \cdot$ ” 是指 $x\to x_0,x\to x_0^{-},x\to x_0^{+}$ , $x\to \pm \mathrm{\infty },x\to -\mathrm{\infty },x\to +\mathrm{\infty }$ 六种情形. 值得注意的是,极限存在只是函数局部有界的充分条件,并非必要条件; 如 $y=\sin x$ 在任意区间上有界. 但 $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sin x$ 不存在

② 若 $y=f\left(x\right)$ 在 $\left[a,b\right]$ 上为连续函数,则 $f\left(x\right)$ 在 $\left[a,b\right]$ 上必定有界;

③ 若 $f\left(x\right)$ 在 $\left(a,b\right)$ 内为连续函数,且 $\underset{x\to a^{+}}{lim}f\left(x\right)$ 与 $\underset{x\to b^{-}}{lim}f\left(x\right)$ 都存在,则 $f\left(x\right)$ 在 $\left(a,b\right)$ 内必定有界;

④有界函数与有界函数的和、差、积仍为有界函数.

【例 1.17】 在下列区间内,函数 $f\left(x\right)={\displaystyle \frac{x\sin \left(x-3\right)}{\left(x-1\right){(x-3)}^2}}$ 有界的是 $\left(\right)$ .

(A) $\left(-2,1\right)$   (B) $\left(-1,0\right)$   (C) $\left(1,2\right)$   (D) $\left(2,3\right)$

解 应选 (B).

所给选项皆为开区间, 因此不能直接利用连续函数在闭区间上的有界性定理. 可以考虑在开区间两个端点处函数的极限是否存在.

由于 $f\left(x\right)$ 在 $x_1=1,x_2=3$ 处没有定义,因此当 $x\ne 1,x\ne 3$ 时, $f\left(x\right)$ 为初等函数且为连续函数. 又由

$$\underset{x\to 1}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 1}{lim}{\displaystyle \frac{x\sin \left(x-3\right)}{\left(x-1\right){(x-3)}^2}=\mathrm{\infty },}$$$$\underset{x\to 3}{lim}f\left(x\right)=\underset{x\to 3}{lim}{\displaystyle \frac{x\sin \left(x-3\right)}{\left(x-1\right){(x-3)}^2}=\mathrm{\infty },}$$

可知在区间端点为 1 或 3 的开区间内, $f\left(x\right)$ 均为无界函数,故选 (B).

(3) 局部保号性

如果 $f\left(x\right)\to A\left(x\to x_0\right)$ 且 $A>0$ (或 $A<0$ ),那么存在常数 $\delta >0$ , 使得当 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 时,有 $f\left(x\right)>0$ (或 $f\left(x\right)<0$ ). 如果在 $x_0$ 的某去心邻域内 $f\left(x\right)\ge 0$ (或 $f\left(x\right)\le 0$ ) 且 $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=A$ ,则 $A\ge 0$ (或 $A\le 0$ ).

$limf>0\Rightarrow f>0$
$limf<0\Rightarrow f<0$
（脱帽严格不等）

$f\ge 0\Rightarrow limf\ge 0$
$f\le 0\Rightarrow limf\le 0$
（戴帽非严格不等）

---

【注】证明 $\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=A\left(A>0\right)\iff \mathrm{\forall }\epsilon >0$ ,存在 $\delta >0$ ,使得当 $0<\left|x-x_0\right|<\delta$ 时,有 $\left|f\left(x\right)-A\right|<\epsilon$ .

取 $\epsilon ={\displaystyle \frac{A}{2}>0}$ ,即有 $\left|f\left(x\right)-A\right|<{\displaystyle \frac{A}{2}}$ ,所以 $f\left(x\right)>{\displaystyle \frac{A}{2}>0}$ ,证毕.

若取 $\epsilon =2A$ ，则 $-A<f\left(x\right)<3A$ ，此范围不够精确，不能用于证明此结论.

lim我=你: 即使给我整个世界，我也只在你身边.

【例 1.18】 已知 $f\left(x\right)$ 在 $x=0$ 的某个邻域内连续,且 $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{1-\cos x}=-1}$ ,则存在 $\delta >0,\left(\right)$ .

(A) 当 $x\in \left(-\delta ,0\right)$ 时, $f\left(x\right)>0$ ; 当 $x\in \left(0,\delta \right)$ 时, $f\left(x\right)<0$

(B) 当 $x\in \left(-\delta ,0\right)$ 时, $f\left(x\right)<0$ ; 当 $x\in \left(0,\delta \right)$ 时, $f\left(x\right)>0$

(C) 当 $x\in \left(-\delta ,0\right)$ 时, $f\left(x\right)>0$ ; 当 $x\in \left(0,\delta \right)$ 时, $f\left(x\right)>0$

(D) 当 $x\in \left(-\delta ,0\right)$ 时, $f\left(x\right)<0$ ; 当 $x\in \left(0,\delta \right)$ 时, $f\left(x\right)<0$

解 应选 (D).

由于

$$\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{1-\cos x}=\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{2f\left(x\right)}{x^2}=-1,}}$$

故 $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{x^2}=-{\displaystyle \frac{1}{2}<0}}$ ,由极限的局部保号性可知,在 $x=0$ 的某去心邻域内有 ${\displaystyle \frac{f\left(x\right)}{x^2}<0}$ ,即 $f\left(x\right)<0$ ,从而选 (D).

1.3.4 无穷小的定义

如果当 $x\to x_0$ (或 $x\to \mathrm{\infty }$ ) 时,函数 $f\left(x\right)$ 的极限为零,那么称函数 $f\left(x\right)$ 为当 $x\to x_0$ (或 $x\to \mathrm{\infty }$ ) 时的无穷小,记为

$$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=0\text{ (或 }\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=0\text{ ). }$$

【注】无穷小包括 $\{\begin{array}{l}\text{ 本身就是 }0\to \text{ 是一个常数 }\\ \text{ 本身不是 }0,\text{ 是趋于 }0\text{ 的 }f\left(x\right)\text{ 或 }\left\{x_n\right\}\to \text{ 是一个极限过程 }\end{array}$

【注】(脱帽法) $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=A\iff f\left(x\right)=A+\alpha$ ,这里 $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\alpha =0$ ,即 $\alpha$ 是 $x\to \cdot$ 时的无穷小.

1.3.5 无穷小的性质

①有限个无穷小的和是无穷小.

②有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

③有限个无穷小的乘积是无穷小.

1.3.6 无穷小的比阶

设在自变量的同一变化过程中, $lim\alpha \left(x\right)=0,lim\beta \left(x\right)=0$ ,且 $\beta \left(x\right)\ne 0$ ,则

①若 $lim{\displaystyle \frac{\alpha \left(x\right)}{\beta \left(x\right)}=0}$ ,则称 $\alpha \left(x\right)$ 是比 $\beta \left(x\right)$ 高阶的无穷小,记为 $\alpha \left(x\right)=o\left(\beta \left(x\right)\right)$ ;

②若 $lim{\displaystyle \frac{\alpha \left(x\right)}{\beta \left(x\right)}=\mathrm{\infty }}$ ,则称 $\alpha \left(x\right)$ 是比 $\beta \left(x\right)$ 低阶的无穷小;

③若 $lim{\displaystyle \frac{\alpha \left(x\right)}{\beta \left(x\right)}=c\ne 0}$ ,则称 $\alpha \left(x\right)$ 与 $\beta \left(x\right)$ 是同阶无穷小;

④若 $lim{\displaystyle \frac{\alpha \left(x\right)}{\beta \left(x\right)}=1}$ ,则称 $\alpha \left(x\right)$ 与 $\beta \left(x\right)$ 是等价无穷小,记为 $\alpha \left(x\right)\sim \beta \left(x\right)$ ;

⑤若 $lim{\displaystyle \frac{\alpha \left(x\right)}{{\left[\beta \left(x\right)\right]}^k}=c\ne 0,k>0}$ ,则称 $\alpha \left(x\right)$ 是 $\beta \left(x\right)$ 的 $k$ 阶无穷小.

【注】 并不是任意两个无穷小都可进行比阶的. 例如,当 $x\to 0$ 时, $x\sin {\displaystyle \frac{1}{x}}$ 与 $x^2$ 虽然都是无穷小,

但是却不可以比阶,也就是说既无高低阶之分,也无同阶可言,因为 $\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{x\sin {\displaystyle \frac{1}{x}}}{x^2}=\underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{1}{x}\sin {\displaystyle \frac{1}{x}}}}$ 不存在.

1.3.7. 常用的等价无穷小

当 $x\to 0$ 时,常用的等价无穷小有

$$\sin x\sim x,\tan x\sim x,\arcsin x\sim x,\arctan x\sim x,\ln \left(1+x\right)\sim x,{\mathrm{e}}^x-1\sim x,$$$$a^x-1\sim x\ln a,1-\cos x\sim {\displaystyle \frac{1}{2}{x}^2,{(1+x)}^a-1\sim ax.}$$

【注】使用时一般都要做广义化: 可将 $x$ 替换为趋向于 0 的函数,请灵活使用.

【注】在应用等价无穷小时，只能用于乘除，不能用于加减 例如 $\tan x-\sin x$ 的等价无穷小并不是 0，而是 $\tan x(1-\cos x)$ 即 $x\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}{x}^2}$ 即 ${\displaystyle \frac{1}{2}{x}^3}$

1.3.8 无穷大的定义

如果当 $x\to x_0$ (或 $x\to \mathrm{\infty }$ ) 时,函数 $\left|f\left(x\right)\right|$ 无限增大,那么称函数 $f\left(x\right)$ 为当 $x\to x_0$ (或 $x\to \mathrm{\infty }$ ) 时的无穷大, 记为

$$\underset{x\to x_0}{lim}f\left(x\right)=\mathrm{\infty }\text{ (或 }\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f\left(x\right)=\mathrm{\infty }\text{ ) . }$$

无穷大同无穷小，也是一个极限过程
无穷大一定无界，但无界不一定是无穷大量

这是一个数学分析中的重要概念。我们来详细解释一下为什么“无穷大一定无界，但无界不一定是无穷大量”。

无穷大与无界的定义

1. 无穷大：如果一个数列或函数在某个点处趋向于正无穷或负无穷，我们称其为无穷大。例如，数列 $a_n=n$ 趋向于无穷大，因为当 $n\to \mathrm{\infty }$ 时，$a_n\to \mathrm{\infty }$。

2. 无界：如果一个数列或函数的取值范围在某个区间内没有上界或下界，我们称其为无界。例如，数列 $a_n=(-1{)}^{n}n$ 是无界的，因为它的取值会随着 $n$ 增大而变得越来越大，虽然它的值是正负交替的。

无穷大一定无界

无穷大的数列或函数意味着它的值会超过任何有限的数，所以它没有一个上界或下界。因此，无穷大的数列或函数一定是无界的。

举个例子，数列 $a_n=n$ 是无穷大的，因为对于任意给定的数 $M$，存在一个整数 $N$，使得当 $n>N$ 时，$a_n>M$。这也意味着数列 $a_n$ 是无界的，因为它的值可以无限增大。

无界不一定是无穷大量

无界的数列或函数只需要没有上界或下界，但它不一定在某个点上趋向于正无穷或负无穷。

举个例子，数列 $a_n=(-1{)}^{n}n$ 是无界的，因为它的绝对值随着 $n$ 的增大而增大，但它不是无穷大的，因为它没有在某个点上趋向于正无穷或负无穷。实际上，它的值在正负之间交替变化。

总结

• 无穷大：意味着数列或函数趋向于正无穷或负无穷，一定是无界的。
• 无界：只意味着数列或函数没有上界或下界，但不一定趋向于正无穷或负无穷。

因此，无穷大一定是无界的，而无界不一定是无穷大的。

【注】无穷小与无穷大的关系.

在自变量的同一变化过程中,如果 $f\left(x\right)$ 为无穷大,则 ${\displaystyle \frac{1}{f\left(x\right)}}$ 为无穷小; 反之,如果 $f\left(x\right)$ 为无穷小, 且 $f\left(x\right)\ne 0$ ,则 ${\displaystyle \frac{1}{f\left(x\right)}}$ 为无穷大.

则 ↘用除法的新颖观点来理解“无穷”.

${\displaystyle \frac{1}{1/2}=2\text{(次)}}$   $1-{\displaystyle \frac{1}{2}-{\displaystyle \frac{1}{2}=0}}$

${\displaystyle \frac{1}{1/4}=4\text{(次)}}$   $1-{\displaystyle \frac{1}{4}-{\displaystyle \frac{1}{4}-{\displaystyle \frac{1}{4}-{\displaystyle \frac{1}{4}=0}}}}$

${\displaystyle \frac{1}{0}=\text{不存在}}$   $1-0-0-\cdots \ne 0$

$\underset{x\to 0^{+}}{lim}{\displaystyle \frac{1}{x}=+\mathrm{\infty }\text{(次)}}$   $1-x-x-\cdots =0$

【例 1.19】 设 $x\to 0$ 时, ${\mathrm{e}}^{\tan x}-{\mathrm{e}}^{\sin x}$ 与 $x^n$ 是同阶无穷小,则 $n$ 为 ( ).

(A) 1   (B) 2

(C) 3   (D) 4

解 应选 (C). 当 $x\to 0$ 时,

$${\mathrm{e}}^{\tan x}-{\mathrm{e}}^{\sin x}={\mathrm{e}}^{\sin x}\left({\mathrm{e}}^{\tan x-\sin x}-1\right)=1\cdot \left({\mathrm{e}}^{\tan x-\sin x}-1\right)\sim \tan x-\sin x=\tan x\left(1-\cos x\right)\sim {\displaystyle \frac{1}{2}{x}^3,}$$

因此选 (C).